Question

【题目】如图，在四边形中，，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.

（1）证明：平面；

（2）若为的中点，二面角等于60°，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）利用线面垂直的判定定理和性质定理即可证明；

（2）由题意知，，取的中点，连接，易知两两垂直，以为原点建立如图所示的坐标系，设，平面的一个法向量为，求出向量，则向量所成角的余弦值的绝对值即为所求.

（1）证明：因为，

所以平面，

又因为平面，所以.

又因为，

所以平面.

（2）因为，

所以是二面角的平面角，即，

在中，，

取的中点，连接，因为,

所以,由（1）知，平面，为的中位线，

所以，即两两垂直，

以为原点建立如图所示的坐标系，设，则

，

，设平面的一个法向量为，

则由得令，得，

所以，

所以直线与平面所成角的正弦值为.