Question

【题目】图1是某高架桥箱梁的横截面，它由上部路面和下部支撑箱两部分组成．如图2，路面宽度，下部支撑箱CDEF为等腰梯形（），且．为了保证承重能力与稳定性，需下部支撑箱的面积为，高度为2m且，若路面AB．侧边CF和DE，底部EF的造价分别为4a千元/m，5a千元/m，6a千元/m（a为正常数），．

（1）试用θ表示箱梁的总造价y（千元）；

（2）试确定cosθ的值，使总造价最低?并求最低总造价．

Answer 1

【答案】（1），，其中；（2）当的值为时，总造价最低，为千元．

【解析】

（1）过点F作于点H，由三角函数及支撑面面积可得，写出总造价与θ的关系，并分析函数定义域；

（2）利用导数求函数的最小值，即可得到结论.

（1）过点F作于点H，则，

所以在中，，．

设，

则由题意得，解得，

所以，

故路面AB的造价为千元，

侧边CF和DE的造价为千元．

底部EF的造价为，

所以，

又因为，

则，

设锐角满足，则．

因此，，，其中．

（2）由（1）知

设，其中，

则．

令，则．

因为．

所以，列表如下：

		－	0	＋
			4

所以当时，，有．

答：当的值为时，总造价最低，为千元．