Question

【题目】已知点，是抛物线上的两个动点，是坐标原点，向量，满足.设圆的方程为.

（1）证明线段是圆的直径；

（2）当圆的圆心到直线的距离的最小值为时，求的值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）2

【解析】

(1)根据两个向量模长之间的关系，两边平方，移项合并得到数量积为零，用坐标表示出来，根据点是圆上的点,得到线段垂直，从而数量积为零,把两个式子进行比较，整理得到结果；(2)根据两个点是抛物线.上的点，把点的坐标代入抛物线方程，整理变形得到圆心的轨迹方程，表示出圆心到直线的距离，根据二次函数的最值得到结果.

（1）∵，

∴.

∴.

∵，

∴在圆上，

同理在圆上.

又∵的中点为圆的圆心，

∴线段是圆的直径

（2）设圆的圆心为.

∵，，

∴，

又.

∴.

∵，，

∴

.∴.

所以圆心的轨迹方程为：.

设圆心到直线的距离为，则，

所以当时，有最小值，

由题设，

所以.