Question

【题目】已知圆，为上任意一点，，的垂直平分线交于点，记点的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程；

（2）已知点，过的直线交于两点，证明：直线的斜率与直线的斜率之和为定值.

Answer 1

【答案】（1）（2）证明见解析

【解析】

（1）由PF的中垂线可得GP＝GF，而GP+GE＝PE＝4，进而可得G的轨迹为椭圆；且可得F，E为椭圆的焦点，PE的长为长轴长，进而求出椭圆的方程；（2）设直线MN的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出直线SM，SN的斜率之和，将之和及之积代入，由由于Q在直线上，可得参数的关系，进而可得斜率之和为定值．

（1）因为点在的垂直平分线上，所以.

而，

所以动点满足，

椭圆定义可知，点在以、为焦点的椭圆上，且，

所以，

所以曲线的方程为.

（2）由题意知直线斜率存在.

设其方程为，，，

联立方程组代入消元并整理得：

，

则，.

，将直线方程代入，整理得：

，

韦达定理代入化简得：.

因为直线过点，所以，

代入，得.