Question

【题目】如图，在棱长为的正方体中，，分别在棱，上，且.

（1）已知为棱上一点，且，求证：平面.

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）过M作MT⊥AA1于点T，连B1T，则A1T=1．推导出△AA1E≌△A1B1T，∠AA1E=∠A1B1T．推导出A1E⊥B1T．从而MT⊥面AA1B1B，进而MT⊥A1E，A1E⊥面MTB，A1E⊥MB1．连B1D1，则B1D1⊥A1C1．又D1M⊥A1C1，从而A1C1⊥面MD1B1，A1C1⊥MB1．由A1E⊥MB1，A1C1⊥MB1，能证明B1M⊥面A1EC1．

（2）在D1C1上取一点N，使ND1=1，连接EF．则．=．由余弦定理可知cos∠EA1C1．求出△A1EC1的面积，由等体积法可知F到平面A1EC1之距离h满足，求出，由此能求出直线FC1与平面A1EC1所成角的正弦值．

（1）过作于点，连，则.易证：，于是.由，知，∴.显然面，而面，∴，又，∴面，∴.连，则.

又，，∴面，∴.由，，，∴面.

（2）在上取一点，使，连接.易知.∴

.对于，，，而，

由余弦定理可知.∴的面积 .由等体积法可知到平面之距离满足，则，∴，又，设与平面所成角为，∴.