Question

已知△ABC中，（a-c）（sinA+sinC）=（a-b）sinB，（1）求∠C；（2）若△ABC的外接圆半径为2，试求该三角形面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理把题设中的条件中的角的正弦换成边，化简整理得a²+b²-c²=ab，进而利用余弦定理求得cosC，则C可得．
（2）利用三角形面积公式表示出三角形的面积，利用正弦定理把边换成角的正弦，利用两角和公式化简整理，进而利用正弦函数的性质求得三角形面积的最大值．

解答：解：（1）由（a-c）（sinA+sinC）=（a-b）sinB，得（a-c）（a+c）=（a-b）b，
∴a²-c²=ab-b²，∴a²+b²-c²=ab，∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

1

2

又∵0°＜C＜180°，∴C=60°
（2）S=

1

2

absinC=

1

2

×

3

2

ab=4

3

sinAsinB=4

3

sinAsin（120°-A）
=4

3

sinA（sin120°cosA-cos120°sinA）=6sinAcosA+2

3

sin²A
=3sin2A-

3

cos2A+

3

=2

3

sin（2A-30°）+

3

∴当2A=120°，即A=60°时，S_max=3

3

点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．解题的关键是利用了正弦定理完成了边角问题的互化．