Question

（2012•湖北模拟）设直线l：x-y+m=0与抛物线C：y²=4x交于不同两点A、B，F为抛物线的焦点．
（1）求△ABF的重心G的轨迹方程；
（2）如果m=-2，求△ABF的外接圆的方程．

Answer 1

分析：（1）设出A、B、G的坐标，联立直线与抛物线，利用重心坐标公式，即可求得重心G的轨迹方程；
（2）确定AB的中垂线方程为x+y-6=0，令△ABF外接圆圆心为C（a，6-a），求出弦AB的长，C到AB的距离，利用|CA|=|CF|，即可求得圆心坐标与半径，从而可得△ABF的外接圆的方程．

解答：解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），F（1，0），重心G（x，y），
联立直线与抛物线，可得

y2=4x x-y+m=0

，消元可得y²-4y+4m=0
∴△＞0⇒m＜1且m≠-1（因为A、B、F不共线）
故

x= x1+x2+1 3 = y1+y2-2m+1 3 = 5-2m 3 y= y1+y2 3 = 4 3

∴重心G的轨迹方程为y=

4

3

(x＞1且x≠

7

3

)（6分）
（2）m=-2，则y²-4y-8=0，设AB中点为（x₀，y₀）
∴y0=

y1+y2

2

=2，∴x₀=y₀-m=2-m=4
∴AB的中垂线方程为x+y-6=0
令△ABF外接圆圆心为C（a，6-a）
又|AB|=

1+ 1 k2

|y1-y2|=4

6

，C到AB的距离为d=

|2a-8|

2

∴|CA|=|CF|⇒(2

6

)2+(

2a-8

2

)2=(a-1)2+(6-a)2⇒a=

19

2

∴C(

19

2

，-

7

2

)，∴|CF|2=(

17

2

)2+(

7

2

)2=

169

2

∴所求的圆的方程为(x-

19

2

)2+(y+

7

2

)2=

169

2

（7分）

点评：本题考查轨迹方程，考查圆的方程，解题的关键是确定圆的圆心与半径，属于中档题．