Question

已知数列{a_n}满足a₁=a(a≠0，且a≠1)，其前n项和S_n=(1-a_n).

(Ⅰ)求证：{a_n}为等比数列；

(Ⅱ)记b_n=a_nlg(n∈ N^*)，T_n为数列{b_n}的前n项和.

(i)当a=2时，求；

(ii)当a=-时，是否存在正整数m，使得对于任意正整数n都有b_n≥b_m?如果存在，求出m的值；如果不存在，请说明理由.

Answer 1

证明：(Ⅰ)当n≥2时，

a_n=S_n-S_n-1=(1-a_n)-(1-a_n-1)，

整理得=a，所以{a_n}是公比为a的等比数列，

又a₁=a，所以a_n=aⁿ. 

(Ⅱ)因为a_n=aⁿ,b_n=aⁿlg|a_n|=aⁿlg|aⁿ|=naⁿlg|a|，

(i)当a=2时，T_n=(2+2·2²+…+n·2ⁿ)1g2， 

2T_n=[2²+2·2³+…+(n-1)·2ⁿ+n·2ⁿ⁺¹]lg2， 

两式相减整理得T_n=2[1-(1-n)·2ⁿ]lg2. 

所以，

(ii)因为-1＜a＜0，

所以，当n为偶数时，b_n=naⁿlg|a|＜0；

当n为奇数时，b_n=naⁿlg|a|＞0.

所以，如果存在满足条件的正整数m，则m一定是偶数.

b_2k+2-b_2k=2a^2k(a²-1)(k-)lg|a|，(k∈N^*)，

当a=-时，a²-1=-，所以2a^2k(a²-1)lg|a|＞0.

又

所以，当k＞时，b_2k+2＞b_2k，即b₈＜b₁₀＜b₁₂＜…，

当＜时，b_2k+2＜b_2k，即b₈＜b₆＜b₄＜b₂，

即存在正整数m=8，使得对于任意正整数n都有b_n≥b₈.