Question

（2009•武汉模拟）设无穷数列{aⁿ}系：a₁=1，2a_n+1-a_n=

n-2

n(n+1)(n+2)

（n≥1）
（1）求a₂，a₃
（2）若b_n=a_n-

1

n(n+1)

，求证数列{b_n}是等比数列
（3）若S_n为数列{a_n}前n项的和，求S_n．

Answer 1

分析：（1）由a₁=1，2a_n+1-a_n=

n-2

n(n+1)(n+2)

（n≥1），分别取n=1，2即可得出．
（2）由b_n=a_n-

1

n(n+1)

，代入递推式中化简即可证明数列{b_n}是等比数列．
（3）由（2）可知：bn=(

1

2

)n，an=(

1

2

)n+

1

n(n+1)

=(

1

2

)n+(

1

n

-

1

n+1

)，利用等比数列的前n项和公式及其裂项求和即可得出．

解答：解：（1）由a₁=1，2a_n+1-a_n=

n-2

n(n+1)(n+2)

（n≥1），
∴2a2-a1=

-1

1×2×3

，解得a2=

5

12

．
同理可得a3=

5

24

．
（2）由b_n=a_n-

1

n(n+1)

，代入递推式中可得：2(bn+1+

1

(n+1)(n+2)

)-(bn+

1

n(n+1)

)=

n-2

n(n+1)(n+2)

，
∴2bn+1-bn+

2n

n(n+1)(n+2)

-

n+2

n(n+1)(n+2)

=

n-2

n(n+1)(n+2)

，
∴2b_n+1=b_n，且b1=a1-

1

2

=

1

2

．
∴数列{b_n}是首项为

1

2

，公比为

1

2

的等比数列．
（3）由（2）可知：bn=(

1

2

)n，
∴an=(

1

2

)n+

1

n(n+1)

=(

1

2

)n+(

1

n

-

1

n+1

)
∴数列{a_n}前n项和S_n=

1 2 ×[1-( 1 2 )n]

1- 1 2

+1-

1

n+1

=2-(

1

2

)n-

1

n+1

．

点评：正确理解递推式的含义、等比数列的定义、通项公式及其前n项和公式是解题的关键．