Question

【题目】已知椭圆的离心率为，右焦点为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.

（1）求椭圆的方程；

（2）如图，过定点的直线交椭圆于两点，连接并延长交于，求证：.

Answer 1

【答案】（1）（2）证明过程详见解析

【解析】

（1）设出圆的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出b，利用离心率求出a，即可求出椭圆C的标准方程；

（2）依题意可知直线斜率存在，设方程为，代入整理得

， 与椭圆有两个交点，.

设，，直线，的斜率分别为，，利用韦达定理证明

即可.

解：（1）依题意可设圆方程为，

圆与直线相切，.，

由解得，

椭圆的方程为.

（2）依题意可知直线斜率存在，设方程为，代入整理得

，

与椭圆有两个交点，，即.

设，，直线，的斜率分别为，

则，.

，

即.