Question

【题目】以下结论正确的个数是（ ）

①若数列中的最大项是第项，则.

②在中，若，则为等腰直角三角形.

③设、分别为等差数列与的前项和，若，则.

④的内角、、的对边分别为、、，若、、成等比数列，且，则.

⑤在中，、、分别是、、所对边，，则的取值范围为.

A.1个B.2个C.3个D.4个

Answer 1

【答案】D

【解析】

对于①,由数列为正项数列可由与,求得的取值范围,进而判断出数列的单调性,比较端点处的项即可求得最大项; 对于②将正切化为弦,结合正弦函数的和角公式化简后即可判断三角形形状;对于③根据等差数列性质及等差数列前n项和公式,化简变形即可得解;对于④由等比中项的性质,结合余弦定理化简后即可得解;对于⑤由正弦定理,将边化为角,再根据正弦函数的图像与性质即可化简求得值域.

对于①,数列为正项数列,则,.

所以,

若,即,解得,即时数列为递增数列.

若,即,解得,即时为递减数列.

且因为,所以为最大项,即,所以①正确.

对于②,在中,若.化简可得,即,所以.两边同时乘以2,化简可得,则或.即或,所以为等腰三角形或直角三角形,故②错误;

对于③,数列与为等差数列,、分别为等差数列与的前项和.根据等差数列性质及前n项和公式可知而,所以,故③正确;

对于④,、、成等比数列,所以,且则,而则由余弦定理可得.所以④正确;

对于⑤,由正弦定理可得,,所以.由可得,则,

所以

,

因为,

所以,

则,

所以⑤正确,

综上可知,正确的有①③④⑤

故选:D