Question

【题目】如图，在直三棱柱中，，，，，点是的中点．

（1）求异面直线与所成的角；

（2）求证：平面．

Answer 1

【答案】（1）（2）证明见解析

【解析】

（1）因为，，，利用勾股定理的逆定理可得是直角三角形，．因为三棱柱为直三棱柱，可得平面，建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式即可得出．

（2）建立空间直角坐标系，利用直线方向向量、平面的法向量关系即可得出．

解：（1）因为，，，

所以，所以是直角三角形，

所以，所以

因为三棱柱为直三棱柱，所以平面，

所以，

以为原点，分别以、、为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，

则，0，，，0，，，4，，，0，

所以直线的方向向量为，直线的方向向量为，

设异面直线与所成的角为，

因为，

所以，

所以异面直线与所成的角为．

（2）由（1）可知，，4，，则，

设平面的法向量为，则，所以

令，则，，所以

直线的方向向量为，

因为，平面， 所以平面．