Question

【题目】已知椭圆：过点，左、右焦点分别是，，过的直线与椭圆交于，两点，且的周长为.

（1）求椭圆的方程；

（2）若点满足，求四边形面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）4

【解析】

(1)本题首先可以根据椭圆定义以及的周长为得出，然后根据椭圆过点得出，最后联立方程，即可得出结果；

(2)本题首先可根据题意求出的坐标为并设出直线的方程为，然后联立直线方程与椭圆方程并计算出、，再然后根据得出四边形的面积为，最后通过化简并利用不等式即可得出四边形的面积的最大值。

（1）因为的周长为，所以，

因为椭圆：过点，所以，

联立方程，解得，，所以椭圆的方程为；

（2）由（1）可知，的坐标为，由题意可知，显然直线的斜率不为0，

设直线的方程为，，，

联立，得，

所以，，且恒成立，

因为点满足，所以四边形为平行四边形，设其面积为，

则，

因为，所以，，

，

令，则，

当且仅当，即时，有最大值4，

所以四边形面积的最大值为4。