Question

【题目】某种规格的矩形瓷砖根据长期检测结果，各厂生产的每片瓷砖质量都服从正态分布，并把质量在之外的瓷砖作为废品直接回炉处理，剩下的称为正品．

（Ⅰ）从甲陶瓷厂生产的该规格瓷砖中抽取10片进行检查，求至少有1片是废品的概率；

（Ⅱ）若规定该规格的每片正品瓷砖的“尺寸误差”计算方式为：设矩形瓷砖的长与宽分别为、，则“尺寸误差”为，按行业生产标准，其中“优等”、“一级”、“合格”瓷砖的“尺寸误差”范围分别是，、，、，（正品瓷砖中没有“尺寸误差”大于的瓷砖），每片价格分别为7.5元、6.5元、5.0元．现分别从甲、乙两厂生产的该规格的正品瓷砖中随机抽取100片瓷砖，相应的“尺寸误差”组成的样本数据如下：

尺寸误差	0	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6
频数	10	30	30	5	10	5	10

（甲厂瓷砖的“尺寸误差”频数表）用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率．

（ⅰ）记甲厂该种规格的2片正品瓷砖卖出的钱数为（元，求的分布列及数学期望．

（ⅱ）由如图可知，乙厂生产的该规格的正品瓷砖只有“优等”、“一级”两种，求5片该规格的正品瓷砖卖出的钱数不少于36元的概率．

附：若随机变量服从正态分布，则；，，．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（ⅰ）详见解析（ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）先计算出这10片质量全都在之内（即没有废品）的概率，再用1减之。

（Ⅱ）（ⅰ）用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，由图得到得该厂生产的一片正品瓷砖为“优等”、“一级”、“合格”的概率分别为0.7、0.2、0.1；再计算出其分布列与期望即可。

（ⅱ）若5片中有片“优等”品，则，得到，则取4或5；再计算即可得出答案。

（Ⅰ）由正态分布可知，抽取的一片瓷砖的质量在之内的概率为0.9974，则这10片质量全都在之内（即没有废品）的概率为；

则这10片中至少有1片是废品的概率为；

（Ⅱ）（ⅰ）由已知数据，用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，

得该厂生产的一片正品瓷砖为“优等”、“一级”、“合格”的概率分别为0.7、0.2、0.1；

则的可能取值为15，14，12.5，13，11.5，10元；

计算，

，

，

，

，

，

得到的分布列如下：

	15	14	13	12.5	11.5	10
	0.49	0.28	0.04	0.14	0.04	0.01

数学期望为

（元；

（ⅱ）设乙陶瓷厂5片该规格的正品瓷砖中有片“优等”品，则有片“一级”品，

由已知，解得，则取4或5；

故所求的概率为

．