Question

【题目】

如图，已知平面QBC与直线PA均垂直于所在平面，且PA=AB=AC．

（Ⅰ）求证：PA∥平面QBC；

（Ⅱ）若，求二面角Q-PB-A的余弦值．

Answer 1

【答案】(1)通过已知中的平面⊥平面，那么结合平面，和⊥平面，从而得到线线平行∥，利用线面平行的性质来证明．

(2)

【解析】

试题解：（I）证明：过点作于点，

∵平面⊥平面∴平面

又∵⊥平面

∴∥又∵平面

∴∥平面

（Ⅱ）∵平面

∴又∵

∴∴

∴点是的中点，连结，则

∴平面∴∥，

∴四边形是矩形

设

∴，∴

过作于点，

∴，

取中点，连结，取的中点，连结

∵，∴∥

∵∴∴

∴为二面角的平面角

连结，则又∵

∴

即二面角的余弦值为

方法二:

（I）同方法一

（Ⅱ）∵平面

∴，又∵

∴∴

∴点是的中点，连结，则

∴平面∴∥，

∴四边形是矩形

分别以为轴建立空间直角坐标系

设，则，，，

设平面的法向量为

∵，

∴

又∵平面的法向量为

设二面角为，则

又∵二面角是钝角

∴