Question

22、如图，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B，C两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点．
（Ⅰ）证明A，P，O，M四点共圆；
（Ⅱ）求∠OAM+∠APM的大小．

Answer 1

分析：（I）连接OP，OM，利用AP与⊙O相切于点P和M是⊙O的弦BC的中点得到垂直关系，从而证得四边形的对角互补，最后得到A，P，O，M四点共圆；
（II）由（Ⅰ）得A，P，O，M四点共圆得到∠OAM=∠OPM，及OP⊥AP，从而∠OPM+∠APM=90°，从而问题解决．

解答：解：（Ⅰ）证明：连接OP，OM．
因为AP与⊙O相切于点P，所以OP⊥AP．
因为M是⊙O的弦BC的中点，所以OM⊥BC．
于是∠OPA+∠OMA=180°．
由圆心O在∠PAC的内部，可知四边形的对角互补，
所以A，P，O，M四点共圆．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得A，P，O，M四点共圆，所以∠OAM=∠OPM．
由（Ⅰ）得OP⊥AP．
由圆心O在∠PAC的内部，可知∠OPM+∠APM=90°．
所以∠OAM+∠APM=90°．

点评：本小题主要考查与圆有关的比例线段、与圆有关的比例线段的应用、四点共圆的解法等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题．