Question

例2．求证：

a2+b2

+

b2+c2

+

c2+a2

≥

2

(a+b+c)．

Answer 1

分析：不等式的左端是根式，而右端是整式，应设法通过适当的放缩变换将左式各根式的被开方式转化为完全平方式．

解答：证明：∵a²+b²≥2ab，∴2（a²+b²）≥a²+2ab+b²=（a+b）²，
即a²+b²≥

(a+b)2

2

，两边开方，得：

a2+b2

≥

2

2

|a+b|≥

2

2

（a+b），
同理可得

b2+c2

≥

2

2

（b+c），

c2+a2

≥

2

2

（c+a），
三式相加，得：

a2+b2

+

b2+c2

+

c2+a2

≥

2

（a+b+c）．

点评：利用综合法由因导果证明不等式，就要揭示出条件与结论之间的因果关系，为此要着力分析已知与求证之间的差异与联系，不等式左右两端的差异和联系，在分析所证不等式左右两端的差异后，合理应用已知条件，进行有效的变换就是证明不等式的关键．