Question

已知O是△ABC的外心，AB=6，AC=10，若

AO

=x•

AB

+y•

AC

且2x+10y=5，则cos∠BAC=

 

．

Answer 1

分析：当△ABC是锐角三角形时，取AB、AC的中点D、E，连结OD、OE．由三角形外接圆的性质得OD⊥AB且OE⊥AC，由此利用直角三角形中三角函数的定义和数量积的公式，算出

AO

•

AB

=

1

2

|

AB

|²=18且

AO

•

AC

=

1

2

|

AC

|²=50．然后在等式

AO

=x

AB

+y

AC

的两边分别与

AB

、

AC

作数量积，将得到的等式与2x+10y=5组成方程组联解，算出

AB

•

AC

=20，可得cos∠BAC的值．最后由△ABC是以AC为斜边的直角三角形时，算出cos∠BAC=

3

5

，即可得出满足条件的cos∠BAC值．

解答：解：分别取AB、AC的中点D、E，连结OD、OE，
（i）当x≠0时，
∵O是锐角△ABC的外接圆的圆心，D、E分别为AB、AC的中点，
∴OD⊥AB，OE⊥AC．
由此可得Rt△AOD中，cos∠OAD=

|AD|

|AO|

=

1

2

•

|AB|

|AO|

，
∴

AO

•

AB

=|

AO

|•|

AB

|cos∠OAD=|

AO

|•|

AB

|•

1

2

•

|AB|

|AO|

=

1

2

|

AB

|²=18．
同理可得

AO

•

AC

=

1

2

|

AC

|²=50．
∵

AO

=x•

AB

+y•

AC

，
∴等式的两边都与

AB

作数量积，得

AO

•

AB

=x

AB

²+y

AB

•

AC

，化简得18=36x+y

AB

•

AC

，…①
同理，等式的两边都与

AC

作数量积，化简得50=x

AB

•

AC

+100y，…②
又∵根据题意知2x+10y=5，…③
∴①②③联解，可得

AB

•

AC

=20，由此可得

AB • AC

|AB| • |AC|

=

20

6×10

=

1

3

（ii）当x=0时，

AO

=y•

AC

且10y=5，可得

AO

=

1

2

AC

∴△ABC是以AC为斜边的直角三角形，可得cos∠BAC=

AB

AC

=

3

5

．
故答案为：

1

3

或

3

5

点评：本题着重考查了三角形外接圆的性质、锐角的三角函数在直角三角形中的定义、向量量的数量积公式和方程组的解法等知识，属于中档题．