Question

设数{an}前n项和Sn满足：S3=

3

2

，且Sn=

1

3

an+c(c为常数，n∈N*)．
（1）求c的值及数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=λa_n+n²+n，若b_n+1＞b_n对一切n∈N^*恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）n≥2时，Sn=

1

3

an+c，Sn-1=

1

3

an-1+c，两式相减化简可得数列{a_n}是等比数列，从而可求数列{a_n}的通项公式；
（2）利用b_n=λa_n+n²+n，可将b_n+1＞b_n表示为λa_n+1+（n+1）²+n+1＞λa_n+n²+n，从而有

3

2

λ•(-

1

2

)n-1＜2n+2，由于涉及到(-

1

2

)n-1，故需进行分类讨论研究函数的最值，从而求出实数λ的取值范围．

解答：解：（1）n=1时，a1=

1

3

a1+c，∴a1=

3

2

c，
n≥2时，Sn=

1

3

an+c，Sn-1=

1

3

an-1+c，两式相减化简得an=-

1

2

an-1，由S3=

3

2

得c=

4

3

，
∴a₁=2，∴数列{a_n}是等比数列，an=2×(-

1

2

)n-1
（2）∵b_n+1＞b_n，∴λa_n+1+（n+1）²+n+1＞λa_n+n²+n，∴

3

2

λan＜2n+2，∴

3

2

λ•(-

1

2

)n-1＜2n+2①当n为奇数时，λ＜

1

3

(2n+2)•2n-1∵

1

3

(2n+2)•2n-1随n的增大而增大，∴当n=1时，

1

3

(2n+2)•2n-1取得最小值为

4

3

，则要使对一切n∈N^*恒成立，则λ＜

4

3

；
②当n为偶数时，λ＞-

1

3

(2n+2)•2n-1∵

1

3

(2n+2)•2n-1随n的增大而减少，∴当n=2
时，

1

3

(2n+2)•2n-1取得最大值为-4，则要使对一切n∈N^*恒成立，则λ＞-4
综上知，-4＜λ＜

4

3

．

点评：本题主要考查等比数列的通项公式，利用两式相减的方法，考查恒成立问题的处理，利用最值法解决，有一定的综合性．