Question

【题目】设点是轴上的一个定点，其横坐标为（），已知当时，动圆过点且与直线相切，记动圆的圆心的轨迹为．

（Ⅰ）求曲线的方程；

（Ⅱ）当时，若直线与曲线相切于点（），且与以定点为圆心的动圆也相切，当动圆的面积最小时，证明： 、两点的横坐标之差为定值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.

【解析】试题分析：

（Ⅰ）由切线的性质知点到点的距离与到直线的距离相等，即点的轨迹为以点为焦点，直线为准线的抛物线，由此可得方程；

（Ⅱ）设出直线方程为，与抛物线方程联立方程组，利用相切（判别式为0）可得斜率，点到此直线的距离就是圆的半径，变形为用基本不等式求出它的最小值，而最小值时恰好有，结论得证．

试题解析：

（Ⅰ）因为圆与直线相切，所以点到直线的距离等于圆的半径，

所以，点到点的距离与到直线的距离相等.

所以，点的轨迹为以点为焦点，直线为准线的抛物线，

所以圆心的轨迹方程，即曲线的方程为．

（Ⅱ）由题意，直线的斜率存在，设直线的方程为，

由得，

又，所以，

因为直线与曲线相切，所以，解得．

所以，直线的方程为．　

动圆的半径即为点到直线的距离.

当动圆的面积最小时，即最小，而当时；

.

当且仅当，即时取等号，

所以当动圆的面积最小时， ，

即当动圆的面积最小时， 、两点的横坐标之差为定值.