Question

【题目】如图所示，在四棱锥中，四边形为矩形， 为等腰三角形， ，平面平面，且， ， 分别为的中点.

（1）证明： 平面；

（2）证明：平面平面；

（3）求四棱锥的体积.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）EF∥平面PAD，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证EF与平面PAD内一直线平行，连AC，根据中位线可知EF∥PA，EF平面PAD，PA平面PAD，满足定理所需条件；

（2平面PAD⊥平面ABCD，根据面面垂直的判定定理可知在平面ABCD内一直线与平面PAD垂直，根据面面垂直的性质定理可知CD⊥平面PAD，又CD平面ABCD，满足定理所需条件；

（3）过P作PO⊥AD于O，从而PO⊥平面ABCD，即为四棱锥的高，最后根据棱锥的体积公式求出所求即可．

解：(1)如图所示，

连接. ∵四边形为矩形，且为的中点,

∴也是的中点. 又是的中点， ,

∵平面， 平面.平面

(2) 证明：∵平面平面， ，平面平面，

∴平面. ∵平面，∴平面平面.

(3)取的中点，连接. ∵平面平面， 为等腰三角形，

∴平面，即为四棱锥的高. ∵，∴. 又，

∴四棱锥的体积.