Question

设函数（p是实数，e是自然对数的底数）
（1）若函数f（x）在定义域内不单调，求实数p的取值范围；
（2）若在[1，e]上至少存在一个x₀，使得f（x₀）＞g（x₀），求实数p的取值范围．

Answer 1

解：（1），
有条件得，f'（x）=0在（0，+∞）上有解
即在（0，+∞）上有解，∵x＞0，∴，∴0＜p≤1
若当p=1时，≥0，不符条件，所以0＜p＜1
（2）有题意得：f（x）＞g（x）在[1，e]上有解
即在[1，e]上有解
即在[1，e]上有解
记，只需p＞h（x）_min∵，所以在[1，e]是减函数在[1，e]是增函数
所以h（x）在[1，e]是减函数
分析：（1）求出f（x）的导函数，令导函数等于0，在（0，+∞）上有解，分离出p，利用基本不等式求出p的范围，检验p=1是否满足题意．
（2）将问题转化为f（x）＞g（x）在[1，e]上有解，分离出p，构造函数h（x），利用导数求出h（x）的最小值，令p＞h（x）的最小值即得p的范围．
点评：解决方程有解问题转化为求函数的值域；解决不等式有解问题，转化为求函数的最值．