Question

【题目】已知函数f(x)＝|x－3|－|x＋1|.

(1)求f(x)的值域；

(2)解不等式：f(x)>0；

(3)若直线y＝a与f(x)的图像无交点，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) [－4,4] (2) (－∞，1) (3) a∈(－∞，－4)∪(4，＋∞)

【解析】

(1)首先将函数的解析式写成分段函数的形式，然后求解其值域即可；

(2)结合函数的解析式零点分段求解不等式的解集即可；

(3)首先绘制函数f(x)的图像，然后数形结合即可确定实数a的取值范围.

若x≤－1，则x－3<0，x＋1≤0，

f(x)＝－(x－3)＋(x＋1)＝4；

若－1<x≤3，则x－3≤0，x＋1>0，

f(x)＝－(x－3)－(x＋1)＝－2x＋2；

若x>3，则x－3>0，x＋1>0，

f(x)＝(x－3)－(x＋1)＝－4.

∴f(x)＝

(1)－1<x≤3时，－4≤－2x＋2<4.

∴f(x)的值域为[－4,4)∪{4}∪{－4}＝[－4,4]．

(2)f(x)>0，即①

或②

或③

解①得x≤－1，解②得－1<x<1，解③得x∈.

∴f(x)>0的解集为(－∞，－1]∪(－1,1)∪＝(－∞，1)．

(3)f(x)的图像如下：

由图可知，当a∈(－∞，－4)∪(4，＋∞)时，直线y＝a与f(x)的图像无交点．