Question

【题目】已知右焦点为的椭圆关于直线对称的图形过坐标原点.

是椭圆的左顶点，斜率为的直线交于，两点，点在上，.

（Ⅰ）当时，求的面积；

（Ⅱ）当时，证明：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；

（Ⅱ）证明详见解析

【解析】

（Ⅰ）由椭圆关于直线的对称图形过原点，可得a、c的关系，再由a、b、c的关系，可得a、c的值，进而求得椭圆方程，由可知两线段关于x轴对称，直线AM倾斜角为，求出直线方程，与椭圆方程联立求得交点坐标，进而求得三角形面积.

（Ⅱ）用设而不求的方式，分别假设两条直线方程，并求出弦长，且两直线斜率互为负倒数，根据两弦长之间的斜率关系，得出斜率k的方程，根据函数与方程的关系，通过求导分析，证明结论.

（Ⅰ）由题意得椭圆的焦点在轴上，∵椭圆关于直线对称的图形过坐标原点，∴，∵，∴，解得.∴椭圆的方程为.设，则由题意知.

由已知及椭圆的对称性知，直线的倾斜角为，

又，因此直线的方程为.

将代入得，

解得或，所以.

因此的面积.

（2）将直线的方程代入得

.

由得，故.

由题设，直线的方程为，故同理可得.

由得，即.

设，则是的零点，，

所以在单调递增，又，，

因此在有唯一的零点，且零点在内，所以.