Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，且AD∥BC，AD⊥CD，∠ABC＝60°，BC＝2AD＝2，PC＝3，△PAB是正三角形．

（1）求证：AB⊥PC；

（2）求二面角P﹣CD﹣B的平面角的正切值．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)．

【解析】

（1）要证线线垂直，先证线面垂直，由于是正三角形，取中点，则有，从而只要再证即可证；

（2）关键是作二面角的平面角，由（1）知平面平面，因此只要作作PO⊥CE，PH⊥CD，连结OH，就可得∠PHO为二面角P﹣CD﹣B的平面角，接着就是计算出这个角即可．

（1）证明：取AB中点E，连结PE，CE，

易证△ABC为正三角形，E为AB中点，∴CE⊥AB，

∵△ABP为正三角形，E为AB中点，∴PE⊥AB，

∴AB⊥平面PCE，

∴AB⊥PC．

（2）解：过P点作PO⊥CE，PH⊥CD，连结OH，

∵AB⊥平面PCE，∴平面ABCD⊥平面PCE，

∵PO⊥CE，∴PO⊥平面ABCD，

∵PH⊥CD，∴OH⊥CD，

∴∠PHO为二面角P﹣CD﹣B的平面角，

四边形ABCD是直角梯形，且AD∥BC，AD⊥CD，

∠ABC＝60°，BC＝2AD＝2，PC＝3，△PAB是正三角形．

AB＝2，PA＝PB＝2，PE＝CE，∠PCE＝30°，

所以PO，OC，∠ECD＝60°，OH，

三角形POH是直角三角形，∠POH＝90°，

∴．

∴二面角P﹣CD﹣B的平面角的正切值：．