Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若PA=AB，求PB与AC所成角的余弦值；
（Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．

Answer 1

分析：（I）由已知条件可得ACBD，PABD，根据直线与平面垂直的判定定理可证
（II）结合已知条件，设AC与BD的交点为O，则OB⊥OC，故考虑分别以OB，OC为x轴、y轴，以过O且垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系，
设PB与AC所成的角为θ，则θ可转化为

PB

与

AC

所成的角，代入公式COSθ=

| PB • AC

| PB || AC|

|可求
（III）分别求平面PBC的法向量

m

=(3，

3

，

6

t

)，平面PDC的法向量

n

=(-3，

3

，

6

t

)                          
由平面PBC⊥平面PDC可得

m

•

n

=0从而可求t即PA

解答：解：（I）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，
又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，PA∩AC=A
所以BD⊥平面PAC
（II）设AC∩BD=O，因为∠BAD=60°，PA=AB=2，
所以BO=1，AO=OC=

3

，
以O为坐标原点，分别以OB，OC为x轴、y轴，以过O且垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，则
P（0，-

3

，2），A（0，-

3

，0），B（1，0，0），C（0，

3

，0）

所以

PB

=(1，

3

，-2)，

AC

=(0，2

3

，0)
设PB与AC所成的角为θ，则cosθ=|

PB • AC

| PB || AC |

|=

6

2 2 ×2 3

=

6

4

（III）由（II）知

BC

=(-1，

3

，0)，设P(0，-

3

，t)(t＞0)，
则

BP

=(-1，-

3

，t)
设平面PBC的法向量

m

=（x，y，z）
则

BC

•

m

=0   

BP

•

m

=0，
所以

-x+ 3 y=0 -x+ 3 y+tz=0

令y=

3

，则x=3，z=

6

t

，
平面PBC的法向量所以

m

=(3，

3

，

6

t

)，
同理平面PDC的法向量

n

=(-3，

3

，

6

t

)，因为平面PBC⊥平面PDC，
所以

m

•

n

=0，即-6+

36

t2

=0，解得t=

6

，
所以PA=

6

．

点评：本小题主要考查空间线面关系的垂直关系的判断、异面直线所成的角、用空间向量的方法求解直线的夹角、距离等问题，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力