Question

抛物线的顶点在原点O，焦点为椭圆

x2

3

+

y2

2

=1的右焦点F．
（1）求抛物线的方程；
（2）设点P在抛物线上运动，求P到直线y=x+3的距离的最小值，并求此时点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）由已知得到焦点F（1，0），可得

p

2

=1，进而得到抛物线方程；
（2）解法1：设P（x，y），利用P到直线y=x+3的距离d=

|x-y+3|

2

，又y²=4x，利用点到直线的距离公式及二次函数的性质即可得d=

| y2 4 -y+3|

2

=

|y2-4y+12|

4 2

=

(y-2)2+8

4 2

≥

8

4 2

=

2

．
解法2：设l与直线y=x+3平行且与抛物线相切，即l：y=x+b，由

y=x+b y2=4x

得x²+（2b-4）x+b²=0，因为△=（2b-4）²-4b²=0，即可得到b，进而得出切点和距离．

解答：解：（1）由题知F（1，0）
∴抛物线方程：y²=4x．
（2）解法1：设P（x，y），
则P到直线y=x+3的距离d=

|x-y+3|

2

，又y²=4x
∴d=

| y2 4 -y+3|

2

=

|y2-4y+12|

4 2

=

(y-2)2+8

4 2

≥

8

4 2

=

2

．
∴当P（1，2）时，dmin=

2

．
解法2：设l与直线y=x+3平行且与抛物线相切，
即l：y=x+b，由

y=x+b y2=4x

得x²+（2b-4）x+b²=0，∵△=（2b-4）²-4b²=0，∴b=1
此时切点P（1，2），P到直线y=x+3的距离最小为

|3-1|

2

=

2

．

点评：本题中考查了椭圆及抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相切问题转化为与椭圆的方程联立得到判别式△=0或利用点到直线的距离公式及二次函数的单调性即可得出等基础知识与基本技能，考查了推理能力、计算能力．