Question

【题目】已知椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，直线与椭圆在第一象限内的交点是，点在轴上的射影恰好是椭圆的右焦点，椭圆另一个焦点是，且.

（1）求椭圆的方程；

（2）直线过点，且与椭圆交于两点，求的内切圆面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）利用将点的横坐标代入直线，求得点的坐标，代入的坐标运算，求得的值，也即求得点的坐标，将的坐标代入椭圆，结合，解方程组求得的值，进而求得椭圆方程.（2）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程并写出根与系数关系，由此求得的面积，利用导数求得面积的最大值，并由三角形与内切圆有关的面积公式，求得内切圆的半径的最大值.

（1）设椭圆方程为，点在直线上，且点在轴上的射影恰好是椭圆的右焦点，则点.

∵

∴

又

解得

∴椭圆方程为

（2）由（1）知，，过点的直线与椭圆交于两点，

则的周长为，又（为三角形内切圆半径），

∴当的面积最大时，其内切圆面积最大.

设直线的方程为：，，则

消去得，

∴

∴

令，则，∴

令，

当时，，

在上单调递增，

∴，当时取等号，

即当时，的面积最大值为3，

结合，得的最大值为，

∴内切圆面积的最大值为.