Question

【题目】已知函数在处取得极值.

（1）求函数的单调区间；

（2）若函数在上恰有两个不同的零点，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）f（x）在（-∞，-1）递减；在（-1，+∞）递增；（2）.

【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，得到关于的方程，求出，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；

（2）问题等价于在[-2，2]上恰有两个不同的实根．令g（x）=xex+x2+2x，求出函数的单调性求出g（x）的最小值，从而求出m的范围即可．

试题解析：

（1）f'（x）=ex+xex+2ax+2，

∵f（x）在x=1处取得极值， ∴f'（-1）=0，解得a=1．经检验a=1适合，

∴f（x）=xex+x2+2x+1，f'（x）=（x+1）（ex+2），

当x∈（-∞，-1）时，f'（x）＜0，∴f（x）在（-∞，-1）递减；

当x∈（-1+∞）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（-1，+∞）递增．

（2）函数y=f（x）-m-1在[-2，2]上恰有两个不同的零点，

等价于xex+x2+2x-m=0在[-2，2]上恰有两个不同的实根，

等价于xex+x2+2x=m在[-2，2]上恰有两个不同的实根．

令g（x）=xex+x2+2x，∴g'（x）=（x+1）（ex+2），

由（1）知g（x）在（-∞，-1）递减； 在（-1，+∞）递增．

g（x）在[-2，2]上的极小值也是最小值； ． 又，g（2）=8+2e2＞g（-2）， ∴，即．