Question

如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为矩形,侧棱PA⊥底面ABCD,AB=,BC=1,PA=2,E为PD的中点.

(1)求直线AC与PB所成角的余弦值;

(2)在侧面PAB内找一点N,使NE⊥面PAC,并求出N点到AB和AP的距离.

Answer 1

解:(1)设AC∩BD=O,连结OE,则OE∥PB,

∴∠EOA即为AC与PB所成的角或其补角.

    在△AOE中,AO=1,OE=PB=,AE=PD=,

∴cos∠EOA==,

    即AC与PB所成角的余弦值为.

(2)在面ABCD内过D作AC的垂线交AB于点F,则∠ADF=.

    连结PF,则在Rt△ADF中,DF==,AF=ADtan∠ADF=.

    设N为PF的中点,连结NE,则NE∥DF.

∵DF⊥AC,DF⊥PA,

∴DF⊥面PAC.

    从而NE⊥面PAC.

∴N点到AB的距离=AP=1,N点到AP的距离=AF=.