Question

已知函数（，为自然对数的底数）.

（1）求函数的最小值；

（2）若≥0对任意的恒成立，求实数的值；

（3）在（2）的条件下，证明：

 

Answer 1

【答案】

（1）其最小值为（2）（3）由累加即可得证.

【解析】

试题分析：（1）由题意，

由得.

当时, ；当时，.

∴在单调递减，在单调递增.

即在处取得极小值，且为最小值，

其最小值为     

（2）对任意的恒成立，即在上，.

由（1），设，所以.

由得.

易知在区间上单调递增，在区间上单调递减，

∴ 在处取得最大值，而.

因此的解为，∴.     

（3）由（2）知，对任意实数均有，即.

令 ，则.

∴ .

∴

   

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；导数的运算．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查恒成立问题，同时考查不等式的证明，解题的关键是正确求导数，确定函数的单调性．