Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，对任意n∈N^*都有Sn=n2+n
（Ⅰ）求证数列{a_n}是等差数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=

1

an•an+1

，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）再写一式，两式相减得a_n=2n，验证当n=1时，a₁=2也满足上式，可得数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）利用裂项法可求数列{b_n}的前n项和S_n．

解答：解：（Ⅰ）由S_n=n²+n（n∈N^*）．①
当n≥2时，S_n-1=（n-1）²+n-1②
①-②得a_n=2n
当n=1时，a₁=2也满足上式，
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=2n；
（Ⅱ）b_n=

1

an•an+1

=

1

4n(n+1)

=

1

4

（

1

n

-

1

n+1

）
∴S_n=

1

4

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）=

n

4n+4

．

点评：本题以数列{a_n}的前n项和为S_n为载体，考查数列的通项，考查裂项法求数列的和，属于中档题．