Question

【题目】已知，其中是实常数.

（1）若，求的取值范围；

（2）若，求证：函数的零点有且仅有一个；

（3）若，设函数的反函数为，若是公差的等差数列且均在函数的值域中，求证：.

Answer 1

【答案】（1）（2）证明见解析；（3）证明见解析；

【解析】

（1）直接解不等式即可；

（2）说明函数是增函数，然后由，可得结论；

（3）首先不等式变形：，即

，而，问题转化为证明是关于的减函数，即设，证明，利用反函数定义，设，由单调递增可得之间的大小关系，得.

作两个差，，并相减得，若，此式中分析左右两边出现矛盾，从而只能有，证得结论．

（1），所以，，易知，所以，所以.

（2）函数为增函数，且，由于.故在上必存在，使.又为增函数，所以函数的零点有且仅有一个.

（3）即证：.

，而，所以只需证是关于的减函数.

设，即证※大于0

设，由单调递增可得.

.

而，

两式相减得，

①

同理②，

①-②得：

.

若，则上式左侧，右侧矛盾，故※.证毕.