Question

【题目】(2015·湖北）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.
在如图所示的阳马P-ABCD中，侧棱PD底面ABCD,且PD=CD,点E是BC的中点，连接DE,BD,BE
(I)证明：DE底面PBC，试判断四面体EBCD是否为鳖臑. 若是，写出其四个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；
（Ⅱ）记阳马的体积为，四面体的体积为，求的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解答；（Ⅱ）
【解析】 （Ⅰ）因为底面 ， 所以. 由底面为长方形，有 ， 而,所以平面. 平面 ， 所以. 又因为 ， 点是的中点，所以. 而 ， 所以平面.由平面，平面，可知四面体的四个面都是直角三角形，即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别是.
（Ⅱ）由已知，是阳马的高，所以;由（Ⅰ）知，是鳖臑的高，,所以.在中，因为,点是的中心，所以,于是.

【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面垂直的判定的相关知识，掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想，以及对直线与平面垂直的性质的理解，了解垂直于同一个平面的两条直线平行．