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    若x＞1，不等式x+
    1x-1
    ≥k恒成立，则实数k的最大值是
     
    ．
    分析：由于  x+
    1
    x-1
    =x-1+
    1
    x-1
    +1≥3，不等式x+
    1
    x-1
    ≥k恒成立，故k≤3，从而得到实数k的最大值．
    解答：解：∵x＞1，x+
    1
    x-1
    =x-1+
    1
    x-1
    +1≥2+1=3，不等式x+
    1
    x-1
    ≥k恒成立，
    ∴k≤3，∴实数k的最大值是 3，
    故答案为：3．
    点评：本题考查基本不等式的应用，注意检验等号成立的条件，式子的变形是解题的关键．
    练习册系列答案
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    对于函数f（x），g（x），h（x），如果存在实数a，b，使得h（x）=af（x）+bg（x），那么称h（x）为f（x），g（x）的线性生成函数．
    （1）给出如下两组函数，试判断h（x）是否分别为f（x），g（x）的线性生成函数，并说明理由．
    第一组：数学公式；
    第二组：f（x）=x2-x，g（x）=x2+x+1，h（x）=x2-x+1．
    （2）已知f（x）=log2x，g（x）=log0.5x的线性生成函数为h（x），其中a=2，b=1．若不等式3h2（x）+2h（x）+t＜0在x∈[2，4]上有解，求实数t的取值范围；
    （3）已知数学公式的线性生成函数h（x），其中a＞0，b＞0．若h（x）≥b对a∈[1，2]恒成立，求实数b的取值范围．

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    科目：高中数学 来源：2010-2011学年江苏省苏州中学高三（上）调研数学试卷（解析版） 题型：解答题

    对于函数f（x），g（x），h（x），如果存在实数a，b，使得h（x）=af（x）+bg（x），那么称h（x）为f（x），g（x）的线性生成函数．
    （1）给出如下两组函数，试判断h（x）是否分别为f（x），g（x）的线性生成函数，并说明理由．
    第一组：；
    第二组：f（x）=x2-x，g（x）=x2+x+1，h（x）=x2-x+1．
    （2）已知f（x）=log2x，g（x）=log0.5x的线性生成函数为h（x），其中a=2，b=1．若不等式3h2（x）+2h（x）+t＜0在x∈[2，4]上有解，求实数t的取值范围；
    （3）已知的线性生成函数h（x），其中a＞0，b＞0．若h（x）≥b对a∈[1，2]恒成立，求实数b的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    (理)已知函数f(x)=x,g(x)=ln(1+x),h(x)=.

    (1)证明当x＞0时,恒有f(x)＞g(x);

    (2)当x＞0时,不等式g(x)＞(k≥0)恒成立,求实数k的取值范围;

    (3)在x轴正半轴上有一动点D(x,0),过D作x轴的垂线依次交函数f(x)、g(x)、h(x)的图象于点A、B、C,O为坐标原点.试将△AOB与△BOC的面积比表示为x的函数m(x),并判断m(x)是否存在极值,若存在,求出极值;若不存在,请说明理由.

    (文)已知函数f(x)=,x∈(0,+∞),数列{an}满足a1=1,an+1=f(an);数列{bn}满足b1=1,bn+1=,其中Sn为数列{bn}的前n项和,n=1,2,3,….

    (1)求数列{an}和数列{bn}的通项公式;

    (2)设Tn=,证明Tn＜3.

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    科目：高中数学 来源：2009-2010学年浙江省宁波四中高三（上）第一次月考数学试卷（文科）（解析版） 题型：填空题

    若x＞1，不等式x+≥k恒成立，则实数k的最大值是    ．

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