Question

【题目】如图所示，是村里一个小湖的一角，其中. 为了给村民营造丰富的休闲环境，村委会决定在直线湖岸与上分别建观光长廊与，其中是宽长廊，造价是元/米；是窄长廊，造价是元/米；两段长廊的总造价预算为万元（恰好都用完）；同时，在线段上靠近点的三等分点处建一个表演舞台，并建水上通道（表演舞台的大小忽略不计），水上通道的造价是元/米.

（1）若规划宽长廊与窄长廊的长度相等，则水上通道的总造价需多少万元？

（2）如何设计才能使得水上通道的总造价最低？最低总造价是多少万元？

Answer 1

【答案】（1）水上通道AD的总造价为万元；

【解析】

试题分析：

（1）设AB=AC=x（单位：百米），由题意可得12x=12，即x=1，求得BD，在中，由余弦定理求得AD的长，即可得到所求造价；（2）设AB=x，AC=y（单位：百米），则两段长廊的总造价为，运用余弦定理求得BC，再在与中，由余弦定理及，求得的解析式，化简整理，运用配方，即可得到所求最小值，及x，y的值；也可用坐标求解．

试题解析：

（1）设AB=AC=x（单位：百米），则宽长廊AB造价为8x万元，窄长廊AC造价为4x 万元，

故两段长廊的总造价为12x万元，所以12x=12，得x=1，

又，

是边长为1的正三角形，

又点D为线段BC上靠近点B的三等分点，所以,

在中，由余弦定理得

，

，

又水上通道的造价是6万元/百米，所以水上通道的总造价为万元.

（2）法一：设AB=x，AC=y（单位：百米），

则两段长廊的总造价为，

即，在中，由余弦定理得

在与中，由余弦定理及，得

,

又，得

当且仅当时，AD有最小值，

故总造价有最小值万元，此时，

即当宽长廊AB为百米（75米）、窄长廊AC为百米（150米）时，

所以水上通道AD有最低总造价为万元.

法二：由，平方得，以下略.

法三：以A为原点，AP为x轴建立平面直角坐标系，

求出D的坐标得，以下略.