Question

【题目】已知函数.

（1）求在区间上的值域；

（2）若过点存在条直线与曲线相切，求的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)； (2) .

【解析】

（1）利用导数求得极值点比较f（-2），，f（1）的大小即得结论；
（2）利用导数的几何意义得出切线方程4，设g（x）=4x3-6x2+t+3，则“过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切”，
等价于“g（x）有3个不同的零点”．利用导数判断函数的单调性进而得出函数的零点情况，得出结论；

（1）由得.

令,得或.

因为,,,,

所以在区间上的最大值为.

（2）设过点的直线与曲线相切于点,

则,且切线斜率为,

所以切线方程为,

因此.

整理得.

设,

则“过点存在3条直线与曲线相切”等价于“有3个不同零点”.

.

与的变化情况如下:

		0		1
		0		0

所以, 是的极大值, 是的极小值.

当,即时,

此时在区间和上分别至多有1个零点,

所以至多有2个零点.

当,即时,

此时在区间和上分别至多有1个零点,所以至多有个零点.

当且,即时,

因为,,

所以分别在区间,和上恰有1个零点.

由于在区间和上单调,

所以分别在区间和上恰有1个零点.

综上可知,当过点存在条直线与曲线相切时,的取值范围是.