Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求函数的单调增区间；

（2）若不等式对于任意成立，求正实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

（1），对a分类讨论以确定函数的单调增区间；（2）不等式对任意成立等价于对任意，有成立.设，，则只要即可.

（1）由题意得，函数的定义域为.

.

若，则当或时，，此时单调递增，当时，，此时单调递减.若，则当时，，此时单调递减；当时，即，此时单调递增.

综上所述，当时，函数在上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在和上单调递增.

（2）不等式对任意成立等价于对任意，有成立.

设，，则只要即可.

.

令，得；令，得.

所以函数在是哪个单调递减，在上单调递增.

所以的最大值为与中的较大者.

设，

则，

所以在上单调递增，所以，所以.

从而.所以，即.

设，则，

所以在上单调递增.

又，所以的解为.

因为，所以正实数的取值范围为.