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    【题目】某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是学生的必考科目，学生还须从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目.若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生确定选考方案，否则称该学生待确定选考方案.例如学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则称学生甲确定选考方案.某校为了解高一年级名学生选考科目的意向，随机选取名学生进行了一次调查，统计情况如下表：

    性别

    选考方案确定情况

    物理

    化学

    生物

    历史

    地理

    政治

    男

    生

    选考方案确定的有人

    选考方案待确定的有人

    女

    生

    选考方案确定的有人

    选考方案待确定的有人

    （1）估计该校高一年级已确定选考方案的学生有多少人？

    （2）假设男生、女生选择选考科目是相互独立的.从确定选考方案的名男生中随机选出名，从确定选考方案的名女生中随机选出名，试求该男生和该女生的选考方案中都含有历史科目的概率；

    （3）从确定选考方案的8名男生中随机选出2名，设随机变量表示名男生选考方案相同，表示名男生选考方案不同，求的分布列及数学期望.

    【答案】（1）270人；（2）；（3）分布列见解析；期望为.

    【解析】

    （1）计算样本的频率，利用样本估计总体即可；

    （2）根据独立事件同时发生的概率公式计算即可；

    （3）根据古典概型计算离散型随机变量的概率，列出分布列，求期望即可.

    （1）由题意可知，选考方案确定的男学生有人，选考方案确定的女学生有人，

    该校高一年级已确定选考方案的学生有人.

    （2）由数据可知，选考方案确定的8位男学生中选出1人选考方案中含有历史的概率为，

    选考方案确定的10位女学生中选出1人选考方案中含有历史的概率为.

    所以该男学生和该女学生的选考方案中都含有历史的概率为.

    （3）由题意知的所有可能取值为.

    所以的分布列为：

    的数学期望

    练习册系列答案
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    【题目】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

    （Ⅰ）求直线的直角坐标方程与曲线的普通方程；

    （Ⅱ）已知点设直线与曲线相交于两点，求的值.

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    （Ⅰ）若平面内的动点满足平面，作出点的轨迹并证明；

    （Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

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    【题目】为推动实施健康中国战略，树立国家大卫生、大健康概念，手机APP也推出了多款健康运动软件，如“微信运动”，杨老师的微信朋友圈内有位好友参与了“微信运动”，他随机选取了位微信好友（女人，男人），统计其在某一天的走路步数，其中，女性好友的走路步数数据记录如下：

    5860

    8520

    7326

    6798

    7325

    8430

    3216

    7453

    11754

    9860

    8753

    6450

    7290

    4850

    10223

    9763

    7988

    9176

    6421

    5980

    男性好友走路的步数情况可分为五个类别：步（说明“”表示大于等于，小于等于，下同），步，步，步，步及以上，且三种类别人数比例为，将统计结果绘制如图所示的条形图，若某人一天的走路步数超过步被系统认定为“卫健型”，否则被系统认定为“进步型”.

    （1）若以杨老师选取的好友当天行走步数的频率分布来估计所有微信好友每日走路步数的概率分布，请估计杨老师的微信好友圈里参与“微信运动”的名好友中，每天走路步数在步的人数；

    （2）请根据选取的样本数据完成下面的列联表并据此判断能否有以上的把握认定“认定类型”与“性别”有关？

    卫健型

    进步型

    总计

    男

    20

    女

    20

    总计

    40

    附：，

    0.10

    0.05

    0.025

    0.010

    2.706

    3.841

    5.024

    6.635

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    【题目】[选修4—4：坐标系与参数方程]

    在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

    （1）设是曲线上的一个动眯，当时，求点到直线的距离的最小值；

    （2）若曲线上所有的点都在直线的右下方，求实数的取值范围.

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    【题目】已知抛物线，圆.

    （1）若抛物线的焦点在圆上，且为 和圆 的一个交点，求；

    （2）若直线与抛物线和圆分别相切于点，求的最小值及相应的值.

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    【题目】盒中有6个小球,3个白球,记为个红球, 记为个黑球, 记为，除了颜色和编号外，球没有任何区别.

    (1) 求从盒中取一球是红球的概率；

    (2)从盒中取一球，记下颜色后放回，再取一球，记下颜色，若取白球得1分，取红球得2分，取黑球得3分，求两次取球得分之和为5分的概率

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    （2）若，求.

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    【题目】2022年北京冬奥运动会即第24届冬季奥林匹克运动会将在2022年2月4日至2月20日在北京和张家口举行，某研究机构为了了解大学生对冰壶运动的兴趣，随机从某大学生中抽取了100人进行调查，经统计男生与女生的人数比为，男生中有20人表示对冰壶运动有兴趣，女生中有15人对冰壶运动没有兴趣.

    （1）完成列联表，并判断能否有把握认为“对冰壶运动是否有兴趣与性别有关”？

    有兴趣

    没有兴趣

    合计

    男

    20

    女

    15

    合计

    100

    （2）用分层抽样的方法从样本中对冰壶运动有兴趣的学生中抽取6人，求抽取的男生和女生分别为多少人？若从这6人中选取两人作为冰壶运动的宣传员，求选取的2人中恰好有1位男生和1位女生的概率.

    附：，其中

    0.150

    0.100

    0.050

    0.025

    0.010

    2.072

    2.076

    3.841

    5.024

    6.635

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