Question

【题目】如图1，在等腰梯形中，，，，为的中点.现分别沿，将和折起，点折至点，点折至点，使得平面平面，平面平面，连接，如图2.

（Ⅰ）若平面内的动点满足平面，作出点的轨迹并证明；

（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）点的轨迹是直线.见解析，（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）连接，，，由线面平行的判定定理证明平面，再由面面垂直的判定定理证明平面平面，最后由面面平行的判定定理证明平面平面，即可得到点的轨迹；

（Ⅱ）以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求平面与平面所成锐二面角的余弦值即可.

（Ⅰ）如图，取和的中点和，

则点的轨迹是直线.

证明如下：

连接，，，则，

又平面，平面，

∴平面.

依题意知，，，为正三角形，

∴.

又∵平面平面，平面平面，平面，

∴平面，

又∵平面平面，平面，

∴平面，

∵，平面，平面，

∴平面平面，

当平面时，平面

∴点的轨迹是直线.

（Ⅱ）以为原点，，，所在直线分别为，，轴，

建立如图所示的空间直角坐标系.

则平面的一个法向量为，

，，，

∴，，

设平面的一个法向量为，

则，

令，得，，

∴，

设所求二面角为，

∴.