Question

【题目】已知函数.

（1）讨论的极值点的个数；

（2）若方程在上有且只有一个实根，求的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) 时，有一个极值点；当时，有两个极值点.

(2) 或或

【解析】

（1）对求导，讨论的解是否在，在时判断解左右的导数符号，确定极值点的个数.

（2）利用（1）所求，对a讨论，研究函数的单调性及极值，应用零点存在定理判断何时方程在上有且只有一个实根.

（1）的定义域为，.

由得或.

当时，由得，由得，

∴在上单调递增，

在上单调递减，在处取得极小值，无极大值；

当，即时，由得，或，

由得，

∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

在处取得极小值，在处取得极大值.

综上，当时，有一个极值点；当时，有两个极值点.

（2）当时，设，

则在上有且只有一个零点.

显然函数与的单调性是一致的.

①当时，由（1）知函数在区间上递减，上递增，

所以在上的最小值为，

由于，要使在上有且只有一个零点，

需满足或，解得或.

②当时，因为函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.

∵，∴当时，总有.

∵，

∴，又

∴在上必有零点.

∵在上单调递增，

∴当时，在上有且只有一个零点.

综上，当或或时，方程在上有且只有一个实根.