Question

【题目】某公园有一块边长为3百米的正三角形空地，拟将它分割成面积相等的三个区域，用来种植三种花卉.方案是：先建造一条直道将分成面积之比为的两部分（点D，E分别在边，上）；再取的中点M，建造直道（如图）.设，，（单位：百米）.

（1）分别求，关于x的函数关系式；

（2）试确定点D的位置，使两条直道的长度之和最小，并求出最小值.

Answer 1

【答案】（1），.，.

（2）当百米时，两条直道的长度之和取得最小值百米.

【解析】

（1）由，可解得.方法一：再在中，利用余弦定理，可得关于x的函数关系式；在和中，利用余弦定理，可得关于x的函数关系式.方法二：在中，可得，则有，化简整理即得；同理，化简整理即得.（2）由（1）和基本不等式，计算即得.

解：（1），是边长为3的等边三角形，又，

，.

由，得.

法1：在中，由余弦定理，得

.

故直道长度关于x的函数关系式为，.

在和中，由余弦定理，得

①

②

因为M为的中点，所以.

由①②，得，

所以，所以.

所以，直道长度关于x的函数关系式为

，.

法2：因为在中，，

所以.

所以，直道长度关于x的函数关系式为，.

在中，因为M为的中点，所以.

所以.

所以，直道长度关于x的函数关系式为，.

（2）由（1）得，两条直道的长度之和为

（当且仅当即时取“”）.

故当百米时，两条直道的长度之和取得最小值百米.