【题目】已知椭圆
，离心率为
，直线
恒过
的一个焦点
.
（1）求的标准方程；
（2）设
为坐标原点，四边形
的顶点均在上，
交于，且
，若直线
的倾斜角的余弦值为
，求直线
与
轴交点的坐标.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）将
转化成直线点斜式方程形式，求出所过的恒点，进而知道椭圆的焦点，再根据椭圆的离心率公式进行求解即可.
（2）根据向量等式，可以确定
分别是
的中点.设
，求出直线
的方程，与椭圆方程联立，消元，利用一元二次方程根与系数关系，求出
的坐标，同理求出
点坐标，求出直线
的方程，最后求出直线与
轴交点的坐标.
（1）设椭圆的半焦距为
，可化为
，所以直线恒过点
，所以点
，可得
.因为离心率为
，所以
，解得
，由
得
，所以
的标准方程为.
（2）因为
，所以
.由
得分别是的中点.设.由直线的倾斜角的余弦值为
，得直线的斜率为2，所以
，联立
消去
，得
.显然，
，且
， 
，所以
，可得
，同理可得
，所以
，所以
.令
，得
，所以直线与轴交点的坐标为.
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【题目】已知
件次品和
件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出件次品或者检测出件正品时检测结束．
（1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
（2）已知每检测一件产品需要费用
元，设
表示直到检测出件次品或者检测出件正品时所需要的检测费用（单位：元），求的分布列．
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【题目】已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，四个顶点恰好构成了一个边长为
且面积为
的菱形．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知直线
，
过右焦点F2，且它们的斜率乘积为
，设，分别与椭圆交于点
，
和
，
，
的中点为
，
的中点为
，求
面积的最大值．
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【题目】在明代珠算发明之前，我们的先祖从春秋开始多是用算筹为工具来记数、列式和计算.算筹实际上是一根根相同长度的小木棍，如图，是利用算筹表示数1~9的一种方法，例如：47可以表示为“
”，如果用算筹表示一个不含“0”且没有重复数字的三位数，这个数至少要用8根小木棍的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
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【题目】如图，
是由两个全等的菱形
和
组成的空间图形，
，∠BAF＝∠ECD＝60°.
（1）求证：
；
（2）如果二面角B－EF－D的平面角为60°，求直线
与平面
所成角的正弦值.
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【题目】如图，已知抛物线
和点
，过点
作直线
分别交
于
，
两点，
为线段
的中点，
为抛物线上的一个动点.
（1）当
时，过点
作直线
交于另一点
，
为线段
的中点，设，的纵坐标分别为
，
.求
的最小值；
（2）证明：存在
的值，使得
恒成立.
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【题目】如图，某公园有三条观光大道
围成直角三角形，其中直角边
，斜边
.现有甲、乙、丙三位小朋友分别在大道上嬉戏，
（1）若甲、乙都以每分钟100
的速度从点
出发在各自的大道上奔走，乙比甲迟2分钟出发，当乙出发1分钟后到达
，甲到达
，求此时甲、乙两人之间的距离；
（2）甲、乙、丙所在位置分别记为点
.设
，乙、丙之间的距离是甲、乙之间距离的2倍，且
，请将甲、乙之间的距离
表示为
的函数，并求甲、乙之间的最小距离.
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【题目】某公园有一块边长为3百米的正三角形
空地，拟将它分割成面积相等的三个区域，用来种植三种花卉.方案是：先建造一条直道
将
分成面积之比为
的两部分（点D，E分别在边
，
上）；再取的中点M，建造直道
（如图）.设
，
，
（单位：百米）.
（1）分别求
，
关于x的函数关系式；
（2）试确定点D的位置，使两条直道的长度之和最小，并求出最小值.
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