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【题目】已知倾斜角为的直线经过抛物线的焦点,与抛物线相交于两点,且.

Ⅰ)求抛物线的方程;

Ⅱ)过点的两条直线分别交抛物线于点,线段的中点分别为.如果直线的斜率之积等于1,求证:直线经过一定点.

【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)证明见解析.

【解析】分析:(Ⅰ)由题意可设直线的方程为与抛物线方程联立可得由弦长公式可得,抛物线的方程为.

Ⅱ)设直线的斜率为,则直线的斜率为.则直线的方程为与抛物线方程联立可得据此可得,同理可得:,直线的方程为,即,直线经过定点.

详解:(Ⅰ)由题意可设直线的方程为,令.

联立

根据抛物线的定义得,又,又.

则此抛物线的方程为.

Ⅱ)设直线的斜率为,则直线的斜率为.

于是直线的方程为,即

联立

同理将换成得:

.

则直线的方程为

,显然当.

所以直线经过定点.

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