Question

【题目】是个循环小数，表示的小数点后第位开始，连续位上的数字之积．证明存在自然数、，对任意的、，均有．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

不妨设为纯循环小数，．，的循环节为．即，，2，…．

如果某个，可取，所以还假设，，．

作代换，，则．

以下证明，一定存在自然数，对任意的，均有．

鉴于，证明只需要对来进行．

如果，，…，这个乘积均不大于1，那么，可取．

如果它们之中至少有一个大于1，不妨设是其中最大者，那么，

，，…，．

这是因为，如果其中有一个大于1，那么把它乘到上去，就得到比更大的数，这与指标的选取矛盾．

另外，，，…，．

这是因为，按的取法可知，上述各式左边除去最初个因子，其余各因子之值均不小于．

这样，我们证明了一定存在自然数，对任意的，均有，

即．从而，．

同理可证一定存在自然数，对任意的，有，即．