Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知双曲线.

（1）过曲线的左顶点作的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；

（2）设斜率为的直线交曲线于、两点，若与圆相切，求证：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）求出双曲线的左顶点的坐标和渐近线方程，求出过曲线的左顶点作的渐近线的平行线方程，求出直线与直线的交点坐标，进而可求得由这两组平行线围成的平行四边形的面积；

（2）设直线的方程为，设点、，由直线与圆相切得出，再将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，利用平面向量数量积的坐标运算和韦达定理，计算出，由此能证明出.

（1）左顶点，渐近线方程为，

过点与渐近线平行的直线方程为，即.

解方程组，得，

因此，所求平行四边形的面积；

（2）设直线的方程为，设点、，

因直线与圆相切，故，即.

由，得.

由韦达定理得，，

，

因此，.