Question

【题目】已知函数，其中，为自然对数的底数. 设是的导函数.

（Ⅰ）若时，函数在处的切线经过点，求的值；

（Ⅱ）求函数在区间上的单调区间；

（Ⅲ）若，函数在区间内有零点，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）1（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）

【解析】

（I）时，利用导数的几何意义，求得切线斜率，切点坐标 ，即可求解切线的方程，进而求解得值；

（II）求得函数的导数，根据在单调递增，转化为 ，分类讨论，即可求解函数的单调区间；

（Ⅲ）由得：，得，由已知，设为在区间内的一个零点，则由可知在区间上至少有三个单调区间，得到在区间内存在零点，在区间内也存在零点.则在区间内至少有两个零点，由（II）可知，列出不等式组，即可求解.

（I）时，，，

∴切线斜率，切点坐标 ∴切线方程

∵切线经过点，∴ ∴

（II）∵ ∴.

∵在单调递增，∴

，即时，，所以单调递增区间为

②当，即时，，所以单调递减区间为

③当时，令，得，

令，得，令，得，

∴函数单调递减区间为，单调递增区间为

综上①②③可得：

当时，单调递增区间为；

当时，单调递减区间为，单调递增区间为；

当时，单调递减区间为.

（Ⅲ）由得：，∴

由已知，设为在区间内的一个零点，

则由可知，在区间上至少有三个单调区间．

∴在区间内存在零点，在区间内也存在零点.

∴在区间内至少有两个零点．

由（II）可知，

当时，在上单调递增，故在内至多有一个零点，不合题意.

当时，在上单调递减，故在内至多有一个零点，不合题意．

∴，

此时在区间上单调递减，在区间上单调递增

∴

∵ ∴

令，∵ ∴，

令

∵，令得；令得；

∴在单调递增，在单调递减.

∴在恒成立.

即在时恒成立.

∴由得，∴ ∴

∴的取值范围是．