Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB=BC，BD⊥AC，E为PC的中点．
（Ⅰ）求证：AC⊥PB；
（Ⅱ）求证：PA∥平面BDE．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥AC，又BD⊥AC，可证得AC⊥平面PBD，从而可得AC⊥PB．
（Ⅱ）E为PC的中点，设AC∩BD=F，连接EF，可得PA∥EF，由线面平行的判定定理可得结论．

解答：证明：（Ⅰ）∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴PD⊥AC，
又BD⊥AC，PD∩BD=D，
∴AC⊥平面PBD，又PB?平面PBD，
∴AC⊥PB．
（Ⅱ）设AC∩BD=F，连接EF，
在△ABC中，AB=BC，BD⊥AC，
∴F为AC的中点，
∵E为PC的中点，
∴EF∥PA，而EF?平面BDE，PA?平面BDE，
∴PA∥平面BDE．

点评：本题考查直线与平面垂直的性质与直线与平面平行的判定，关键在于掌握直线与平面垂直的性质定理与直线与平面平行的判定定理及其应用，属于中档题．