【题目】(2017·江苏高考)如图,在三棱锥ABCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E,F(E与A,D不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD.
求证:(1)EF∥平面ABC;
(2)AD⊥AC.
【答案】(1)见解析(2)见解析
【解析】试题分析:(1)先由平面几何知识证明,再由线面平行判定定理得结论;(2)先由面面垂直性质定理得平面,则 ,再由AB⊥AD及线面垂直判定定理得AD⊥平面ABC,即可得AD⊥AC.
试题解析:证明:(1)在平面内,因为AB⊥AD, ,所以.
又因为平面ABC, 平面ABC,所以EF∥平面ABC.
(2)因为平面ABD⊥平面BCD,
平面平面BCD=BD,
平面BCD, ,
所以平面.
因为平面,所以 .
又AB⊥AD, , 平面ABC, 平面ABC,
所以AD⊥平面ABC,
又因为AC平面ABC,
所以AD⊥AC.
点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型:(1)证明线面、面面平行,需转化为证明线线平行;(2)证明线面垂直,需转化为证明线线垂直;(3)证明线线垂直,需转化为证明线面垂直.
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【题目】已知函数f(x)的导函数f′(x),且对任意x>0,都有f′(x)>.
(1)判断函数F(x)=在(0,+∞)上的单调性;
(2)设x1,x2∈(0,+∞),证明:f(x1)+f(x2)<f(x1+x2);
(3)请将(2)中结论推广到一般形式,并证明你所推广的结论.
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【题目】等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6,将△ABC沿BC边上的高AD折成直二面角BADC,则三棱锥BACD的外接球的表面积为( )
A. 5π B.
C. 10π D. 34π
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【题目】(2017·泰安模拟)如图,在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,E为AD的中点,F为B1C1的中点.
(1)求证:A1F∥平面ECC1;
(2)在CD上是否存在一点G,使BG⊥平面ECC1?若存在,请确定点G的位置,并证明你的结论,若不存在,请说明理由.
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【题目】某市高中全体学生参加某项测评,按得分评为两类(评定标准见表1).根据男女学生比例,使用分层抽样的方法随机抽取了10000名学生的得分数据,其中等级为的学生中有40%是男生,等级为的学生中有一半是女生.等级为和的学生统称为类学生,等级为和的学生统称为类学生.整理这10000名学生的得分数据,得到如图2所示的频率分布直方图,
类别 | 得分() | |
表1
(I)已知该市高中学生共20万人,试估计在该项测评中被评为类学生的人数;
(Ⅱ)某5人得分分别为45,50,55,75,85.从这5人中随机选取2人组成甲组,另外3人组成乙组,求“甲、乙两组各有1名类学生”的概率;
(Ⅲ)在这10000名学生中,男生占总数的比例为51%, 类女生占女生总数的比例为, 类男生占男生总数的比例为,判断与的大小.(只需写出结论)
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【题目】椭圆: 的离心率为,过其右焦点与长轴垂直的直线与椭圆在第一象限相交于点, .
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设椭圆的左顶点为,右顶点为,点是椭圆上的动点,且点与点, 不重合,直线与直线相交于点,直线与直线相交于点,求证:以线段为直径的圆恒过定点.
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