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已知二次函数f(x)=x2-16x+q+3.
(1)若函数在区间[-1,1]上存在零点,求实数q的取值范围;
(2)若记区间[a,b]的长度为b-a.问:是否存在常数t(t≥0),当x∈[t,10]时,f(x)的值域为区间D,且D的长度为12-t?请对你所得的结论给出证明.
分析:(1)根据解析式判断f(x)在区间[-1,1]上递减,由函数零点的几何意义知f(-1)≥,f(1)≤0,再代入方程后求不等式得解集,即是p的范围;
(2)先假设存在常数t(t≥0)满足题意,根据对称轴和区间[t,10]的关系进行分类,再根据每种情况中的二次函数图象求出函数的值域,利用区间长度求出t的值,注意验证是否在确定的范围内.
解答:(1)解:∵函数f(x)=x2-16x+q+3在区间[-1,1]上单调递减,
∴函数在区间[-1,1]上存在零点可得,
f(-1)≥0
f(1)≤0

20+q≥0
-12+q≤0

∴-20≤q≤12
(2)证明:假设存在常数t(t≥0)满足题意,分三种情况求解:
①当
0≤t≤8
8-t≥10-8
,即0≤t≤6时,
当x=8时,取到最小值f(8);当x=t时,取到最大值f(t),
∴f(x)的值域为:[f(8),f(t)],
∴区间长度为t2-16t+P+3-(p-61)=t2-16t+64=12-t.
∴t2-15t+52=0,
∴t=
15-
17
2
,t=
15+
17
2
(舍)
②当
0≤t≤8
8-t<10-8
即6≤t<8时,D=[f(8),f(10)]=[p-61,p-57]
∴区间长度为p-57-(p-61)=4=12-t,
∴t=8.经检验t=8不合题意,舍去.
③当t≥8时,函数f(x)在[q,10]上单调递增,
∴f(x)的值域为:[f(t),f(10)],即[t2-16t+p+3,p-57].
∴区间长度为p-57-(t2-16t+p+3)=-t2-16t-60=12-t,
∴t2-17t+72=0,
∴t=8或t=9.经检验t=8或t=9满足题意.
综上知,存在常数t=8或t=9,或t=
15-
17
2
时,f(x)的值域为区间D,且D的长度为12-t
点评:本题考查了函数零点的几何意义和在给定区间上求二次函数的值域,特别是区间含有参数时,要讨论对称轴和区间的位置关系并由此进行分类,是综合性强和计算量大的题.
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